Cuál es el teorema de pitágoras

El teorema de Pitágoras, en su enunciado habitual, establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos (los lados que forman el ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el otro lado).

El recíproco también se cumple, es decir: en un triángulo, si la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados más cortos es igual al cuadrado de la longitud del lado más largo, entonces el ángulo comprendido entre los dos lados más cortos es un ángulo recto.

El teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados a, b, y c, a menudo llamada la ecuación de Pitágoras:

a^2 + b^2 = c^2

Donde c representa la longitud de la hipotenusa, y en y b representan las longitudes de los otros dos lados.

cuál es el teorema de pitágoras

El teorema de Pitágoras debe su nombre al matemático griego Pitágoras, en el que según la tradición se le atribuye su descubrimiento y la demostración, aunque a menudo se argumenta que el conocimiento del teorema era ya anterior. Hay pruebas de que los matemáticos babilonios conocían la fórmula, aunque nos ha llegado muy poca información sobre el uso que hacían.

El teorema se refiere tanto a las áreas como las longitudes, o puede decirse que en las dos áreas ya las interpretaciones métricas. Algunas demostraciones del teorema se basan en una interpretación, algunas sobre la otra, utilizando técnicas algebraicas y geométricas. El teorema puede ser generalizado de varias maneras, incluyendo espacios de dimensión superior, los espacios no euclidianos, a los objetos que no son triángulos rectángulos y, de hecho, a los objetos que no son en todos los triángulos , pero son n -dimensionales sólidos. El teorema de Pitágoras ha despertado el interés fuera de las matemáticas como un símbolo del hermetismo de las matemáticas, de la mística, o el poder intelectual; referencias en la literatura popular, obras de teatro, abundan los musicales, canciones, sellos y en los dibujos animados.

Orígenes

Los rastros más antiguos de la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se puede considerar que se encuentran en la inscripción de ternas pitagóricas. Se trata de ternas de números naturales (a, b, c) que satisfacen la relación a 2 + b 2 = c 2. Se han encontrado en tabletas Babilonias, sobre todo en la tableta Plimpton 322 datada del XVIII Ac, o sea más de 1000 años antes de Pitágoras. Algunos pretenden incluso encontrar a megalitos datados del siglo XXV Ac en la Gran Bretaña.

Entre estos tripletes, el más pequeño es 3-4-5. Corresponde a las dimensiones de un triángulo rectángulo cuyos Plutarco conjetura una interpretación simbólica desde el Antiguo Egipto. Este triángulo se puede formar con la ayuda de una cuerda de trece nudos que permanecería una de las herramientas de los geómetras hasta el final de la Edad media.

Pero por un lado, la utilización de esta cuerda con nudos no indica por fuerza el conocimiento de que el ángulo formado es matemáticamente un ángulo recto; por otra parte el inventario de tripletes pitagóricos ha podido ser encontrado en un marco aritmético fuera del contexto geométrico. Por último, para que la conjetura se erija en teorema, es necesario que la relación sea demostrada, y no sólo en algunos casos particulares.

Formulaciones

El teorema, acompañado de una demostración, aparece a comienzos del siglo III en los Elementos de Euclides (proposición XLVII) con la siguiente forma:

«En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.»

Su recíproco es la proposición XLVIII:

«Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, entonces el ángulo comprendido por los dos lados restantes del triángulo es recto.”

Los comentarios de Proclo (alrededor del año 400) parecen indicar que Euclides no habría hecho más que transcribir una demostración más antigua que Proclo atribuye a Pitágoras. Sin embargo, las pruebas históricas de la vida de Pitágoras son tan raras que no se le puede atribuir con certeza la paternidad de esta demostración.

Paralelamente al desarrollo de las matemáticas griegas, el teorema Apparat a la China en el Zhoubo suanjing ( «el gnomon los Zhou»), una de las obras matemáticas chinas más antiguas. Este último, escribe probablemente durante la dinastía Han (-206 a 220), reagrupa técnicas de cálculo que datan de la dinastía Zhou siglo X Ac al 256 Ac. El teorema o procedimiento se enuncia de la siguiente manera:

«Reuniendo el área ( mi ) de la base ( gou ) y el área de la altura ( ug ) se engendra el área de la hipotenusa. »

Pero la cuestión es saber si este teorema o procedimiento es provisto o no de una demostración. Sobre este punto hay división de opiniones ( Chemla Shuchun , p. 681) . El teorema, bajo el nombre de Gougu (a partir de las palabras «base» y «altitud»), es retomado en el Jiuzhang suanshu ( Los nueve capítulos de las artes matemáticas (九章算术) -100 a 50), con una demostración, utilizando una partición y una reconstitución, que no se parece en nada a la de Euclides y que prueba la originalidad del camino chino.

En la India , hacia el 300 aC, se encuentra el rastro de una demostración numérica de la propiedad (prueba efectuada sobre números particulares pero que se puede generalizar fácilmente).

Más tarde se han inventado muchas otras, utilizando herramientas matemáticas variadas. Leonardo da Vinci e incluso el presidente estadounidense James Garfield han propuesto.

Consecuencias

El teorema de Pitágoras podría haber estado en el origen de la nociones de tamaños inconmensurables, premisa de los números irracionales . En efecto, demuestra que un cuadrado cuyo lado sirve de unidad tiene una diagonal con una longitud el cuadrado de la que vale 2. Ahora bien ninguna fracción de números naturales no tiene cuadrado igual a 2. La construcción geométrica de una relación «privada de razón» iba en contra de la visión del mundo de la escuela pitagórica.

La búsqueda exhaustiva de los tripletes pitagóricos, motivada por la construcción de triángulos rectángulos las longitudes de los lado de los que son conmensurables, se ha constituido plenamente en un problema aritmético . Abre la puerta en busca de tripletes que satisfacen una ecuación más general: a^n + b^n = c^n, donde el exponente nes un entero superior a 2. La ausencia de solución cuando el exponente es superior o igual a 3 es la conjetura de Fermat , que no fue definitivamente demostrada hasta más de tres siglos más tarde por Andrew Wiles .

Finalmente, se ha demostrado que el teorema de Pitágoras es equivalente al axioma de las paralelas.

Validación física

El teorema de Pitágoras en derivarse de los axiomas de la geometría euclidiana , su validez en el mundo real se ha podido poner en cuestión con el carácter no euclidiano del espacio físico. El matemático Carl Friedrich Gauss , consideró esta hipótesis cerca de un siglo antes del nacimiento de la teoría de la relatividad general , según una leyenda. Habría medido los ángulos de un triángulo formado por tres ciudades de la región de Hannover para verificar si la suma de sus ángulos constituye efectivamente un ángulo plano .

Otras formas

Como se señala en la introducción, si c denota la longitud de la hipotenusa y en y b denotan las longitudes de los otros dos lados, el teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras:

a^2 + b^2 = c^2

Si la longitud de a y b son conocidas, entonces c se puede calcular de la siguiente manera:

c = \ sqrt {a^2 + b^2}.

Si la longitud de c y una pierna ( a o b ) son conocidos, la longitud de la otra pierna se puede calcular con las siguientes ecuaciones:

a = \ sqrt {c^2 – b^2}.

b = \ sqrt {c^2 – a^2}.

La ecuación de Pitágoras establece una relación simple entre los tres lados de un triángulo rectángulo de modo que, si se conoce la longitud de cualquiera de los dos lados, entonces se puede encontrar la longitud del tercer lado. Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos , que permite el cálculo de la longitud del tercer lado de cualquier triángulo, teniendo en cuenta las longitudes de dos lados y el tamaño del ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los lados es un ángulo recto, el teorema del coseno se reduce a la ecuación de Pitágoras.

Demostraciones

Este teorema puede llegar a tener más demostraciones conocidas que cualquier otro (la ley de reciprocidad cuadrática puede ser otro candidato para esta distinción). El libro La proposición de Pitágoras contiene 370 demostraciones.

Por sustracción de áreas de un mismo cuadrado

Suponiendo el triángulo de catetos a y b (formando un ángulo recto ) y la hipotenusa c , se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b .

Si se añaden tres triángulos iguales al original alrededor del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, se obtiene un cuadrado. En efecto, si la figura central de lado c primeramente dibujada es un cuadrado, sus lados formarán ángulos rectos, entonces, si se gira el triángulo original 90 grados alrededor del centro del cuadrado, vendrá a ocupar un posición perpendicular a la original , de modo tal que el lado a será colineal junto b y viceversa, formándose un cuadrado de lado a + b .

El área de este cuadrado puede expresarse de dos maneras:

  • El cuadrado del lado:
    A = (a + b) 2 = a 2 + 2 · a · b + b 2
  • Suma del cuadrado original y los triángulos añadidos:
    A = c 2 + 4 · (a · b / 2) = c 2 + 2 · a · b

Igualando ambas expresiones:

a 2 + 2 · a · b + b 2 = c 2 + 2 · a · b

Ecuación que expresa la igualdad de áreas de los dos cuadrados del dibix de la derecha. Sustrayendo de ambos el área de los cuatro triángulos resulta:

a 2 + b 2 = c 2 , como queríamos demostrar.

Demostración atribuida a Pitágoras

Esta prueba es la traducción, en lenguaje matemático actual, de la ideada por el mismo Pitágoras que empleó la siguiente figura:

Alrededor del triángulo ABC , se construyen tres cuadrados: el rojo , de área a 2 , el azul de área b 2 , y el bicolor verde anaranjado , de área c 2 .

  • Los triángulos rectángulos ABC y HBC son similares (o similares) porque comparten el mismo ángulo B . Por lo tanto tenemos la igualdad de los cocientes: BH / BC = BC / BA , es decir a ‘/ a = a / c (hoy en día, se diría que su valor es el seno de B).

Por el producto cruzado: a 2 = a ‘· c (es lo que se conoce como teorema del cateto ), o sea que las áreas roja y anaranjada son iguales.

  • Del mismo modo, a partir de los triángulos ABC y HAC y aplicando de nuevo el teorema del cateto , se deduce que b ‘/ b = b / c (sen A) y después b 2 = b’ · c , o sea que las áreas azules y verde son iguales.

Sumando las áreas roja y azul, obtenemos las áreas anaranjadas y verde, es decir:

a 2 + b 2 = c · a ‘+ c · b’ = (a ‘+ b’) c = c 2

Esta prueba utiliza el teorema de Tales , un caso particular de los triángulos semejantes , teorema que sólo es válido en los espacios euclídeos (sin curvatura).

 

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