Cuáles son los números naturales

Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3 …, 19, 20, 21, 22, …, 1059 …, un millón …, que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito. Por ejemplo: 24 manzanas, 2 camiones o 1.123 peces, son situaciones donde se cuenta con números naturales.

cuales son los numeros naturales

El conjunto de todos los números naturales se simboliza por la letra ℕ o N .

En algunos ámbitos matemáticos (especialmente en teoría de números ) es conveniente no considerar el cero como un número natural., mientras que otros, especialmente en teoría de conjuntos , lógica y informática , predomina la postura opuesta. En este artículo, el cero es considerado un número natural.

Según Kronecker , matemático alemán (1823-1891):

« Die ganze Zahl Schufa der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk . “Dios creó los números enteros, todo lo demás es obra del hombre.” En todo caso, seguro que Kronecker se referiría a los naturales si en su época la nomenclatura fuera la actual. Así, ahora habría dicho: “Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre”. »

Historia

Se especula que los primeros usos conocidos de los números se retrotraen a hace más de 30.000 años, época de la que se han encontrado huesos y otros objetos con marcas cortadas encima suyo que posiblemente habrían servido para llevar la cuenta de algo , un número de días o una cantidad de objetos.

Los sistemas de marcas no tienen el concepto de valor posicional (tal como lo tiene el actual sistema de numeración decimal), y esto limita su aplicación a la hora de representar números grandes. A menudo se ha considerado que este es el primer tipo de sistema abstracto que se podría haber usado, y que podría ser considerado un sistema de numeración .

El primer sistema conocido con valor posicional fue el mesopotámico , un sistema en base 60 3400 aC .

El sistema en base 10 más antiguo que se conoce data del 3100 aC al Egipto. Los antiguos egipcios tenían numerales con diferentes jeroglíficos para el 1, el 10, y todas las potencias de 10 hasta un millón. Una piedra de las excavaciones de Karnak , fechada alrededor del 1500 aC y actualmente en el Museo del Louvre de París , describe el número 276 como 2 cientos, 7 decenas y 6 unidades; y de forma similar el número 4622.

Dedekind , en el siglo XIX, fue el primero que trató los números naturales como un conjunto con reglas propias, opuesto a otros tipos de números, si bien matemáticos anteriores ya habían formulado reglas para operar.

Notación

Notación del conjunto

Los matemáticos usan N o \ Mathbb {N}(una N en doble raya, que se presenta como ℕ en Unicode) para referirse al conjunto de todos los números naturales. Este conjunto es infinito numerable: es infinito pero numerable por definición. Esto también se expresa diciendo que el cardenal del conjunto es Aleph-cero.

Para denotar el conjunto de los naturales sin el cero, es habitual usar un asterisco como superíndice de la N :

N* = {1, 2, …}

Cuando se considera que 0 no es un número natural, a veces se utiliza una notación con un subíndice 0 para representar el conjunto de los naturales con el 0:

N0 = {0, 1, 2, …}

Según la norma DIN 5473 debería utilizarse \ Npara todos los naturales (con el cero) y \ N ^ *para los estrictamente positivos (es decir, sin el cero).

Los que trabajan en la teoría de conjuntos menudo denotan el conjunto de todos los números naturales con la letra griega minúscula omega: ω. Esto proviene de la identificación de un número ordinal con el conjunto de los ordinales que son más pequeños. (Cuando se utiliza esta notación, el cero queda incluido explícitamente como un número natural.)

Notación de los números

En cuanto a la notación de los números naturales (los elementos que contiene el conjunto) su notación depende del sistema de numeración utilizado.

Los sistemas de numeración más ampliamente utilizados son los sistemas de numeración posicionales.

De forma que un número natural se expresa con un conjunto de cifras diferentes (tantas como en la base) y el valor de cada cifra depende de su posición en la escritura del número.

Los sistemas posicionales más empleados son el binario o de base 2 y el decimal o de base 10. El decimal es el que se utiliza más a menudo cuando tienen que leer personas y el binario es el que se utiliza para facilitar su almacenamiento, comunicación y manipulación en sistemas electrónicos.

Por ejemplo el número 50 se puede notar:

  • En numeración decimal : 50
  • En numeración binaria : 110010
  • En numeración romana : L
  • En numeración armenia : Ծ

Definición de números naturales

Aunque el concepto intuitivo de números naturales es inmediato y casi innato, su definición no es sencilla.

El concepto de número natural está relacionado con los agregados de objetos. Se puede decir que dos conjuntos tienen el mismo número de objetos si se puede establecer una correspondencia biyectiva entre los elementos de un conjunto y los del otro.

El concepto de número natural corresponde a la abstracción de lo que tienen en común todos los conjuntos con el mismo número de objetos, no es ni los objetos en sí, ni el conjunto, ni las cifras que se utilizan para representar todos los conjuntos con el mismo número de objetos, sino el concepto abstracto que hay detrás de esta idea.

Desde el punto de vista del estudio de las matemáticas, el estudio de los números naturales como objetos abstractos desligados del mundo físico pasa por un enfoque axiomático o un enfoque constructivista.

El enfoque axiomático, establece un conjunto de axiomas (afirmaciones a partir de las cuales se desarrolla el resto del sistema) y entonces aplica las leyes de la lógica y los mismos axiomas para desarrollar toda la teoría de los números naturales.

El enfoque constructivista, utiliza objetos matemáticos más básicos, en este caso conjuntos, para construir un modelo de un sistema que tenga las propiedades que deberían tener los números naturales.

La definición axiomática no se plantea el significado de los números ni qué relación tienen con el mundo físico, se trata de partir de unos axiomas y emplearlos para deducir toda la teoría.

Evidentemente que estos axiomas sean satisfactorios deben conducir de alguna manera al mismo resultado que lo que normalmente se espera por los números que representan cantidades de objetos de conjuntos donde son objetos que no se crean ni se destruyen ni se dividen ni se fusionan.

Axiomas de Peano

Los postulados de Peano describen de manera unívoca el conjunto de los números naturales:

  • Sea el número natural 0
  • Cada número natural a tiene un siguiente, denotado por a + 1
  • No hay ningún número natural tal que su siguiente sea 0
  • Si dos números naturales son diferentes, sus siguientes también lo son, esto es: si a ≠ b, entonces a + 1 ≠ b + 1
  • Una propiedad que se cumpla para el 0 y para el sucesor de cualquier número para el que también se cumpla, se cumple para todos los números naturales. Este último postulado asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática o recurrencia.

Estos axiomas en notación matemática escriben:

numeros naturales

Estos axiomas no tienen por qué llevar el mismo concepto de números naturales que se tiene habitualmente, si se dice que el 0 corresponde a lo que habitualmente llamamos 23 todo el sistema sigue funcionando y los axiomas describen el conjunto de los números que de intuitivamente llamaríamos mayores o iguales que 23.

También se puede elegir el siguiente de un número de formas caprichosas, por ejemplo, al principio se pueden tener todos los números disponibles para hacer de siguiente, entonces el siguiente del cero se coge al azar (por ejemplo el 45) y se saca este número del conjunto de números disponibles, entonces el siguiente del siguiente del cero se vuelve a coger al azar entre los que ahora quedan disponibles (por ejemplo el 27) y así sucesivamente.

El resultado sería un conjunto que cumpliría todos los axiomas, que tendría exactamente todas las propiedades que los números que intuitivamente llamamos naturales pero que estarían completamente mezclados con un orden que no tendría nada que ver con el orden habitual.

Si se hace que intuitivamente el número 0 corresponda con la cantidad de elementos del conjunto que no tiene ninguno y que el siguiente de un número corresponda con un número que representa una cantidad de elementos resultado de añadir un objeto al conjunto con una cantidad de objetos igual a la representada por el número inicial, entonces los axiomas de Peano llevan a un sistema que se corresponde con el concepto intuitivo de número natural.

Desde el punto de vista matemático esto no es importante, incluso no es conveniente. Algo interesante de los axiomas es que todos los teoremas que se puedan demostrar a partir de ellos después se podrán aplicar a cualquier modelo que los cumpla. Por ejemplo los números que se corresponden al concepto intuitivo de números naturales. Pero también a otros modelos que se puedan encontrar en otros ámbitos a pesar de no corresponder a este concepto intuitivo.

Construcción de Von Neumann

En la teoría de conjuntos es común definir cada número natural como el conjunto de todos los números naturales anteriores a él. Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto (será mayor el número que más números contenga).

Más en concreto el proceso es el siguiente:

Se establece 0: = {}, el conjunto vacío
y se define S ( a ) = a ∪ { a } para cada conjunto a . S ( a ) es el sucesor de a , y S se llama la función sucesor.

Si se acepta el axioma del infinito , entonces el conjunto de todos los números naturales existe y es la intersección de todos los conjuntos que contienen el 0, los cuales son cerrados bajo la función sucesor.

Si el conjunto de todos los números naturales existe, entonces satisface los axiomas de Peano .
Entonces cada número natural es igual al conjunto de los números naturales menores que él; por tanto:

  • 0 = {}
  • 1 = {0} = {{}}
  • 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
  • 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
  • n = {0,1,2, …, n -2, n -1} = {0,1,2, …, n -2} ∪ { n -1} = ( n -1) ∪ { n -1}

Y así. Cuando se utiliza un número natural como un conjunto, esto es lo que normalmente se quiere decir. Bajo esta definición, hay exactamente n elementos (en el sentido intuitivo) en el conjunto n y n ≤ m (en el sentido intuitivo) si y sólo si n es un subconjunto de m .

Con esta definición, también coinciden diferentes interpretaciones posibles de notaciones como R n (n- tuplas versus aplicaciones de n en R).

Incluso si no se acepta el axioma del infinito y el conjunto de todos los números naturales no existe, se puede definir qué quiere decir ser uno de estos conjuntos. Un conjunto n es un número natural significa que, o bien es 0 (vacío) o un sucesor, y cada uno sus elementos es o bien 0 o bien el sucesor de otro de sus elementos.

Operaciones con números naturales

Suma

La definición de suma se establecerá de forma que coincida con el resultado que intuitivamente se espera de la suma como el número de elementos de la unión de conjuntos. Sumar el número de elementos de un conjunto con el número de elementos de otro debe dar el mismo resultado que empezar contando los de uno y entonces, en vez de volver a empezar, seguir contando con los elementos de el otro.

A partir del concepto de que n + 1 es igual al siguiente de n es posible definir por inducción la suma mediante la expresión:

a + ( b + 1) = ( a + b ) + 1

lo que convierte los números naturales ( \ Mathbb {N}, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador . Este monoide satisface la propiedad anulatoria y por tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene los naturales es el de los números enteros .

Aplicando recursivamente esta definición hasta que sólo queden operaciones de sumar 1 (es decir aplicar la función “siguiente de”, que forma parte de los axiomas) la definición es equivalente a decir intuitivamente que sumar a más b es sumar a a tantas veces 1 como golpes hay que sumar 1 a cero para llegar a b (o encontrar el siguiente de a veces que hay que encontrar el siguiente de cero para llegar a encontrar b ).

 

Resta

El resto es la operación inversa de la suma. Es decir se dice que un número c es igual a a – b si c + b = a . Por lo tanto la operación de restar a el número b es encontrar un número c tal que sumado a b dé a .

El resto se expresa de la siguiente manera: a – b = c , donde a se denomina minuendo , b llama sustraendo y c es el resultado de la resta o diferencia .

En el conjunto de los números naturales , N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor o igual que el sustraendo. Si el minuendo y el sustraendo son iguales, la diferencia es cero . Por eso se dice que el conjunto de los números naturales no es cerrado respecto del resto, porque dados dos números naturales cualquiera a y b no siempre existe un número natural c que c = a – b .

Multiplicación

La multiplicación es necesario definir de manera que coincida con el concepto intuitivo de que multiplicar un número por otro es lo mismo que sumar el número consigo mismo tantas veces como unidades tiene el otro. Esto se puede conseguir de manera análoga, definiendo la multiplicación × mediante el siguiente: a × ( b + 1) = a × b + a y estableciendo que a × 0 = 0.

Esto convierte ( \ Mathbb {N}, ×) (esto es \ Mathbb {N}con esta nueva operación) en un monoide conmutativo; suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:

a × ( b + c ) = (a × b) + (a × c) .

División

Mientras que en general no es posible dividir un número natural a entre cualquier otro b y que esta operación resulte un número natural (es decir, no es posible encontrar otro número natural q tal que b × q = a ); tenemos algo parecido a la división: para cualesquiera dos números naturales a y b , con b ≠ 0, podemos encontrar otros naturales q y r tales que

a = b × q + r y r < b .

El número q lo llamamos cociente y r el residuo de esta división de a entre b . Los números q y r están unívocamente determinados por a y b .

La operación que a y b los hace corresponder q y r (o dicho de otro modo que a partir de a y b calcula q y r ) se llama división euclidiana . El Teorema de la división euclidiana para los números naturales afirma que para cualquier pareja de números naturales a y b los números naturales q y r que cumplen las condiciones anteriores existen y son únicos.

Una forma de calcular la división euclidiana de a entre b sería ir probando, empezar por q 0 = 0 y seguir por q 1 = 1, q 2 = 2 … y calcular en cada caso a × q y hasta llegar a un q y que a × q y > b entonces el cociente que se buscaba es q = q i-1 y el residuo r = a – b × q .

Este método, es útil para demostrar la existencia y la unicidad del resultado de la división euclidiana (es decir demostrar teorema de la división euclidiana para los números naturales ) pero requiere una cantidad muy grande de cálculos. Por eso para calcular la división euclidiana se utilizan otros algoritmos más eficientes.

En el artículo División euclídea explica rigurosamente el algoritmo para calcular la división euclidiana cuando los números están escritos en base 10 y al artículo División explica con un ejemplo el cálculo manual utilizando este algoritmo.

Subconjuntos del conjunto de los números naturales

Hay ciertos subconjuntos del conjunto de los números naturales que son objeto de estudio singular.

Números primos

Un subconjunto de los conjunto de los números naturales de relevante importancia es el conjunto de los números primos.

Los números primos son los números naturales diferentes de 1 que cumplen la propiedad que sólo son divisibles entre ellos mismos y entre 1.

El teorema fundamental de la aritmética afirma que:

Todo número natural superior a 1 se puede escribir, de forma única como producto de números primos.

El teorema contiene dos afirmaciones, la primera es que todo número se puede escribir como producto de números primos (esto es trivial porque si no, él mismo es un número primo y por tanto cumple la afirmación como producto trivial de un único factor), la segunda es la más interesante y consiste en el hecho de que no se pueden encontrar dos productos diferentes (excepto el orden en que se presenten los factores).

Su demostración es inmediata a partir del lema de Euclides que dice que: si un número primo p es divisor del producto a * b y no es divisor de a entonces es divisor de b .

A partir de aquí surge el problema de descomponer un número en factores primos con los diferentes algoritmos para resolverlo.

Números figuras

Un número figura es un número entero que se puede representar con un conjunto de puntos dispuestos de manera más o menos regular y formando una figura geométrica.

 

Números pares e impares

En aritmética modular , estudiar la paridad de un entero, es determinar si este entero es o no un múltiplo de dos. Un entero múltiplo de dos es un entero par, los otros son los enteros impares.

La aritmética de los números pares e impares cumple las siguientes reglas:

  • Par ± Par = Par
  • Par ± Non = Non
  • Non ± impar = Par
  • Par × Par = Par
  • Par × Impar = Par
  • Non × impar = impar

Relación de orden

Además, se puede definir un orden total escribiendo a ≤ b si y sólo si existe otro número natural c que satisface: a + c = b . Este orden es compatible con las operaciones aritméticas de la siguiente manera: si a , b y c son números naturales y a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y a × c ≤ b × c .

Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados : esto es, cualquier conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los otros).

Propiedades

los numeros naturales

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números .

Aplicaciones

Los números naturales son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una sucesión ordenada, que designaremos por un número ordinal ; y para especificar el tamaño de un conjunto finito, por el que usaremos un número cardinal . En conjuntos finitos, estos dos conceptos son coincidentes, mientras que el infinito los dos conceptos no son lo mismo.

Generalizaciones

A partir de los dos usos principales que se les asigna a los números naturales surgen dos generalizaciones:

Un número natural se puede utilizar para expresar el tamaño de un conjunto finito; de forma más general un número cardinal es una medida del tamaño de un conjunto que también es adecuada para conjuntos infinitos; esto hace referencia al concepto de “medida” de forma que si hay una biyección entre dos conjuntos, significa que tienen el mismo tamaño.

El mismo conjunto de los números naturales y cualquier otro conjunto infinito numerable (que existe una biyección entre él y el conjunto de los números naturales) tiene la cardinalidad aleph cero.

Los calificativos de … números Ordinales , “primero”, “segundo”, “tercero” se pueden asignar a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de un conjunto infinito numerable bien ordenado como el mismo conjunto los números naturales. Esto se puede generalizar con los números ordinales que describen la posición de un elemento en un conjunto bien ordenado en general.

Un número ordinal también se utiliza para indicar la “medida” de un conjunto bien ordenado, en un sentido diferente de la cardinalidad: si hay un isomorfismo de orden entre dos conjuntos bien ordenados entonces tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como \ omega; este también es el número ordinal del mismo conjunto de los números naturales.

Para el caso de conjuntos finitos bien ordenados, hay una correspondencia biunívoca entre los números cardinales y los ordinales; por lo tanto ambos se pueden expresar por el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también se puede usar para expresar la posición de un elemento en una sucesión más grande, finita o infinita.

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